PERSAMAAN LINEAR

PERSAMAAN LINEAR

1. Persamaan Linear dengan satu peubah

Pengertian

Kita dapat memberikan penilaian benar atau salah terhadap bentuk yang dinyatakan sebagai berikut:

1. 4 + 3 = 7
2. 4 x 2 – 5 = 3 + 1
3. $$\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}=2x-7\frac{3}{5}$$

Kalimat pertama bernilai benar, karena ruas kiri (yaitu: 4 + 3) dan ruas kanan (yaitu: 7) mempunyai nilai yang sama. Sebaliknya, kalimat kedua bernilai salah karena nilai pada kedua ruas tidak sama. Kedua kalimat di atas disebut kalimat tertutup atau pernyataan, yaitu suatu kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya.

Bandingkan dengan bentuk yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

1. x + 3 = 7
2. 4y – 5 = 6

Kedua bentuk tersebut belum dapat ditentukan nilai kebenarannya oleh karena terdapat unsur yang belum diketahui nilainya, yaitu x dan y. Dalam hal ini, x dan y dinamakan variabel, yaitu suatu bilangan yang belum diketahui nilainya. Dengan demikian terbuka kemungkinan bentuk tersebut untuk salah atau untuk benar, tergantung nilai yang disubstitusikan terhadap variabel tersebut. Itulah sebabnya kalimat seperti itu dinamakan kalimat terbuka atau persamaan. Oleh karena variabelnya cuma satu pada tiap persamaan dan variabel tersebut berpangkat tertinggi satu, maka secara lebih spesifik disebut Persamaan Linear Satu Variabel.

Persamaan (1) dapat menggambarkan suatu kasus nyata dalam kehidupan sehari-hari, misalnya: Sebuah kotak berisi sejumlah koin yang belum diketahui banyaknya (dinyatakn dengan x). Setelah ditambahkan 3 keping koin, kotak dibuka dan ternyata berisi 7 keping koin. Tahukah Anda, berapa banyak koin dalam kotak sebelum ditambahkan? Itulah nilai yang disimbolkan dengan variabel x.

Secara umum, persamaan linear dengan satu variabel mempunyai bentuk sebagai berikut:

dengan :

 

Menyelesaikan Persamaan Linear

Untuk menyelesaikan suatu persamaan linear, digunakan beberapa prinsip sebagai berikut.

1. Suatu persamaan tidak akan berubah kesamaannya apabila kedua ruas ditambahkan dengan bilangan yang sama.
2. Suatu persamaan tidak akan berubah hubungan kesamaannya apabila kedua ruas dikurangkan dengan bilangan yang sama.
3. Suatu persamaan tidak akan berubah hubungan kesamaannya apabila kedua ruas dikalikan dengan bilangan yang sama.
4. Suatu persamaan tidan akan berubah hubungan kesamaannya apabila kedua ruas dibagi dengan bilangan yang sama.

Dengan menggunakan keempat prinsip tersebut di atas, sebuah persamaan dapat diarahkan sedemikian hingga pada ruas kiri tersisa satu suku, yaitu variabel dengan koefisien satu, misalnya:

x = .......... atau y = ......... , dan seterusnya.

Contoh :

1. Selesaikan persamaan linear berikut : x + 7 = 7

Penyelesaian:
Kurangi kedua ruas dengan 3 sehingga diperoleh :
x + 3 - 3 = 7 -3
x = 4

Jika yang ditanyakan adalah himpunan penyelesaiannya, maka dituliskan :
Hp = {4}

2. Selesaikan persamaan linear berikut : 4x - 5 = 15

Penyelesaian :
Tambahkan kedua ruas dengan 5 sehingga diperoleh :
4x - 5 + 5 = 15 + 5
4x = 20
Bagi kedua ruas dengan 4, sehingga diperoleh:
x = 5

Himpunannya penyelesaiannya :
Hp = {5}


3. Selesaikan persamaan linear berikut :

Penyelesaian :
Kalikan kedua ruas dengan 7 dan 4, sehingga diperoleh:
4(2x + 9) = 7(3x - 1)
8x + 36 = 21x - 7

Kurangkan kedua ruas dengan 36 dan 21x, diperoleh :
8x - 21x = -7 - 36
-13x = -41

Bagi kedua ruas dengan 13, diperoleh :


Himpunan penyelesaiannya:




Soal Terapan :

Seorang kapster memperoleh pendapatan bersih sebesar Rp.500.000,00 dari salon tempatnya bekerja, setelah dipotong pajak sebesar 30%. Berapakah besarnya pendapatan kapster tersebut sebenarnya?

Penyelesaian:

Ambil x = besar pendapatan sebenarnya

Pendapatan sebenarnya – Pajak = Rp.500.000,00

x - 0,3x = 500000

0,7x = 500000

x = 714286


Jadi pendapatan kapster yang sebenarnya adalah Rp.714.286,00