Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional

Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional merupakan dua buah himpunan bilangan yang membentuk Himpunan Bilangan Real. Kedua buah himpunan tersebut saling terpisah satu dengan yang lainnya.

Himpunan Bilangan Rasional

Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat, $b\neq0$. Berdasarkan definisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa semua bilangan bulat dan bilangan pecahan merupakan himpunan bagian dari bilangan rasional.

Dengan demikian bilangan rasional dapat dicontohkan sebagai berikut :

$0, -3, 81, \frac{1}{3}, 0,0000042$

Himpunan Bilangan Irasional

Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat, $b\neq0$. Berdasarkan definisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa semua bilangan bulat dan bilangan pecahan merupakan himpunan bagian dari bilangan rasional.

Contohnya antara lain :

1. $\pi=3,14159...$
2. $e=2,71828...$
3. $\sqrt{2}$
4. $\sqrt{10}$

Bagaimana membuktikan $\sqrt{10}$ sebagai bilangan irasional?

Simak penjelasan berikut ini : 

Pembuktian yang ditunjukkan menggunakan metode kontradiksi. Kita asumsikan bahwa $\sqrt{10}$ merupakan bilangan rasional, maka dapat dituliskan :

$$\sqrt{10}=\frac{a}{b}$$

dengan $\frac{a}{b}$ merupakan pecahan paling sederhana $($$a$ dan $b$ relatif prima$)$

$$\Rightarrow 10=\frac{a^2}{b^2}$$

$$\Rightarrow a^2=10b^2$$

Perhatikan bahwa bilangan $10b^2$ habis dibagi dua, sehingga $a^2$ merupakan bilangan genap. Jika kuadrat sebuah bilangan merupakan bilangan genap, maka dipastikan bahwa bilangan tersebut juga merupakan bilangan genap. Dengan demikian dapat dituliskan :

$$a=2k$$

$$\Rightarrow a^2=4k^2$$

$$\Rightarrow 4k^2=10b^2$$

$$\Rightarrow b^2=\frac{4k^2}{10}$$

$$\Rightarrow b^2=2\left(\frac{k^2}{5}\right)$$

Karena $b^2$ genap maka $b$ juga genap sehingga dapat dituliskan :

$$b=2l$$

Dengan demikian :

$$\frac{a}{b}=\frac{2k}{2l}$$

Ternyata $\frac{a}{b}$ masih dapat disederhanakan lagi menjadi $\frac{k}{l}$ atau dengan kata lain $a$ dan $b$ tidaklah relatif prima.

Ini bertentangan dengan asumsi pada premis bahwa $\frac{a}{b}$ merupakan bentuk pecahan paling sederhana $($$a$ dan $b$ tidaklah relatif prima $)$.

Oleh karena terjadi kontradiksi, maka disimpulkan bahwa asumsi bernilai salah,

Jadi $\sqrt{10}$ adalah bilangan irasional.